Родился 1 июня 1935 года в городе Перово, тогда пригороде, а теперь — районе Москвы, в коммунальной квартире, где провел детство. В 1936 году вместе со своим братом-близнецом Вадимом тяжело болел скарлатиной и чудом выжил, в отличие от брата. В довоенные и военные годы семья переживала голод и крайнюю нужду. В 1941 вместе с мамой и старшим братом Славой оказался в эвакуации в Ярославской области. В 1942 семья нелегально вернулась в Москву, на Шоссе энтузиастов, где удалось остаться до конца войны и далее — до 1972 года. В 1972 году, с женой и годовалой дочкой переехал в Выхино, а в 1973 — в Гольяново, где прожил всю жизнь.
Музыка
С детства увлекся классической музыкой. В возрасте девяти лет, впервые услышав по радио Чайковского, с его слов «был потрясен, что бывает такая красота, а не просто советские песни». С тех пор в доме всегда звучала классическая музыка — Бах, Малер, Сибелиус. Когда музыку слушать не было возможности (в поездках, в дороге) — с его слов, мог «петь мысленно — гениальную кантилену Шуберта, Чайковского и др». Экономил деньги на школьных завтраках, чтобы скопить на еще одну драгоценную виниловую пластинку. В годы пионерского лагеря от завода «Серп и Молот» много сезонов подряд был бессменным горнистом, самостоятельно освоив духовой инструмент. Администрация лагеря купила ему именную посеребренную фанфару, а фотография горниста Юры Гавердовского даже появилась однажды в «Пионерской правде». Последние два года Юра ездил в лагерь и вовсе бесплатно, поскольку был незаменим. По его словам, исполняя обязанности горниста, позволял себе вольности — традиционные пионерские сигналы заменял кавалерийской темой из «Итальянского каприччио» Чайковского, фанфарной темой из «Сказки о царе Салтане» Римского-Корсакова и др. В юности некоторое время пел в хоре Гнесинки.